Frage # 0df97

Antworten:

Die Antwort auf 4 lautet # e ^ -2 #.

Erläuterung:

Das Problem ist:

#lim_ (x -> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Das ist jetzt ein schwieriges Problem. Die Lösung liegt in einer sehr sorgfältigen Mustererkennung. Sie erinnern sich vielleicht an die Definition von # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Wenn wir das Limit als etwas umschreiben könnten, das der Definition von ähnlich ist # e #Wir hätten unsere Antwort. Also, lass es uns versuchen.

Beachten Sie, dass #lim_ (x -> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # ist äquivalent zu:

#lim_ (x -> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Wir können die Brüche wie folgt aufteilen:

#lim_ (x -> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x -> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Wir kommen da an! Lassen Sie uns ein ausrechnen #-2# von oben und unten:

#lim_ (x -> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x -> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (Abbruch (-2)) / (Abbruch (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x -> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Lassen Sie uns die Substitution anwenden # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x -> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Die Eigenschaften der Exponenten sagen: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

So #lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # ist äquivalent zu:

#lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Die Eigenschaften von Exponenten sagen auch: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Was bedeutet, dass dies weiter reduziert auf:

#lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Per Definition, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; und durch direkte Substitution am zweiten Limit ergibt:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Die Lösung ist also …

#lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #