Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) neue Frage ?

#ein)#

Sie müssen nur nehmen #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blau) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = Farbe (blau) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Die Periode kann mit minimalem Aufwand gefunden werden, indem man einfach die Energien kennt, die die Bewegungskonstanten sind.

Die Energie von # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # ist # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #und die Energie von # phi_2 # ist # 4E_1 #. Daher die Frequenz # omega_2 # von # phi_2 # ist das Vierfache von # phi_1 # (# omega_1 #).

Als Ergebnis die Periode # T_1 = (2pi) / (omega_1) # von # phi_1 # ist das Vierfache von # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #und ist auch eine Periode von # phi_2 #.

Die Periode ist also #Farbe (blau) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Ich lass dir das hier einstecken #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Sie brauchen nichts damit zu tun …

Wir wissen das #T = (2pi) / (omega_1) #, und das # (iEt) / ℏ = Iomegat #, so

#E_n = omega_nℏ #.

Als Ergebnis, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) #

und

#color (blau) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1)) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = Farbe (blau) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Die Wahrscheinlichkeit, das Partikel zu finden # 0, L / 2 # ist gegeben als

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Die ersten beiden Terme sind symmetrisch mit der halben Amplitude und Ausbeute #50%# insgesamt.

Der dritte Term hätte eine Wahrscheinlichkeit für einen stationären Zustand von # 4 / (3pi) #, und # cos # ist ein beliebiger Phasenfaktor. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit

# = Farbe (blau) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (blau) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((Pixel) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Es gibt keine triviale Lösung dafür … Dies stellt sich heraus:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = Farbe (blau) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

Beim #x = L / 2 #, das #Sünde# Begriffe gehen zu #sin (pi / 2) = 1 # und zu #sin (pi) = 0 #, beziehungsweise.

Schon seit #sin (pi) = 0 #der zeitabhängige Teil von #Psi ^ "*" Psi # verschwindet und der zeitunabhängige Teil bleibt erhalten # 1 / L # als Wahrscheinlichkeitsdichte.