Wie integrieren Sie int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx durch trigonometrische Substitution?

Antworten:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = ln | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Erläuterung:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3tan Theta dx = 3sec ^ 2 theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3sec ^ 2 theta d theta) / sqrt (9tan ^ 2 theta + 9) = int (3sec ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (1) + tan ^ 2 theta)) 1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3sec ^ 2 theta d theta) / (3sqrt (sec ^ 2 theta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (abbrechen (3sec ^ 2 theta) d theta) / (aufheben (3sec theta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int sec theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = ln | sec theta + tan theta | + C #

#tan theta = (x-2) / 3 "sec theta = sqrt (1 + tan ^ 2 theta) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = ln | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Antworten:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Erläuterung:

Die hyperbolische Version ist ebenfalls möglich:

# x-2 = 3 sinh u #
#dx = 3 cosh du du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9sinh ^ 2 u + 9) 3cosh u du = int 1 / (3cosh u) 3cosh u du = u + C #

Daher:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Wie integrieren Sie int sqrt (-x ^ 2-6x + 16) / xdx mit trigonometrischer Substitution?

Siehe die Antwort unten:

Wie integrieren Sie int sqrt (3 (1-x ^ 2)) dx durch trigonometrische Substitution?

Int sqrt (3 (1 - x ^ 2)) dx = sqrt3 / 4sin2 theta + sqrt3 / 2 theta + Cx = sintheta, dx = cos theta d theta intsqrt (3 (1-sin ^ 2 theta d theta) theta = intsqrt (3 (cos ^ 2 theta)) cos theta d theta = intsqrt3 cos theta d theta = sqrt 3intcos ^ 2 theta d theta = sqrt3 int1 / 2 (cos2 theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 int (cos2) theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 [1/2 sin2 theta + theta] = sqrt3 / 4sin2theta + sqrt3 / 2 theta + C

Wie integrieren Sie int (x + 5) / (2x + 3) durch Substitution?

= 7 / 4ln (2x + 3) + 1 / 2x + C Wir können diesen Integranden nicht sofort ersetzen. Zuerst müssen wir es in eine aufnahmefähigere Form bringen: Wir tun dies mit einer langen Polynomdivision. Auf dem Papier ist dies sehr einfach, aber die Formatierung ist hier ziemlich schwierig. int (x + 5) / (2x + 3) dx = int (7 / (2 (2x + 3)) + 1/2) dx = 7/2int für den ersten Integralsatz u = 2x + 3 bedeutet du = 2dx impliziert dx = (du) / 2 = 7 / 4int (du) / (u) + 1 / 2intdx = 7 / 4ln (u) + 1 / 2x + C = 7 / 4ln (2x + 3) + 1 / 2x + C