Wie groß ist die Oberfläche des Körpers, die durch Drehen von f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x in [1,3] um die x-Achse erzeugt wird?

Antworten:

Bestimmen Sie das Vorzeichen und integrieren Sie es dann nach Teilen. Bereich ist:

# A = 39.6345 #

Erläuterung:

Sie müssen wissen, ob #f (x) # ist negativ oder positiv in #1,3#. Deshalb:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Um ein Vorzeichen zu bestimmen, ist der zweite Faktor positiv, wenn

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Schon seit # e ^ x> 0 # für jeden #x in (-oo, + oo) # Die Ungleichheit ändert sich nicht:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Die Funktion ist also nur positiv, wenn x negativ ist und umgekehrt. Da gibt es auch eine # x # Faktor in #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Wenn ein Faktor positiv ist, ist der andere negativ, also ist f (x) immer negativ. Daher der Bereich:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Rechner verwenden:

# A = 39.6345 #

Antworten:

Fläche = 11.336,8 quadratische Einheiten

Erläuterung:

das Gegebene #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

zur Vereinfachung lassen #f (x) = y #

und # y = xe ^ -x -xe ^ x #

die erste Ableitung # y '# wird bei der Berechnung der Fläche benötigt.

Bereich # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

woher # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Bereich # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Bestimmen Sie die erste Ableitung # y '#:

unterscheiden # y = x (e ^ -x - e ^ x) # unter Verwendung der Ableitung der Produktformel

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

nach Vereinfachung und Factoring ist das Ergebnis

die erste Ableitung # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Berechnen Sie jetzt die Fläche:

Fläche = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Bereich # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Bereich

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1 + (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Für komplizierte Integrale wie diese können wir die Simpson-Regel verwenden:

damit

Bereich

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1 + (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Bereich = -11.336.804

dabei handelt es sich um die Drehrichtung, so dass negative Oberfläche oder positive Oberfläche entstehen kann. Betrachten wir nur den positiven Wert Area = 11336.804 quadratische Einheiten