Wie unterscheidet man f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) anhand der Produktregel?

Antworten:

Zuerst benutzt man die Produktionsregel um zu bekommen

# d / dx f (x) = (d / dx (x - e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x - e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Verwenden Sie dann die Linearität der Ableitung und Funktionsableitungsdefinitionen, um zu erhalten

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #

Erläuterung:

Produktregel beinhaltet die Ableitung von Funktionen, die ein Vielfaches von zwei (oder mehr) Funktionen in der Form sind #f (x) = g (x) * h (x) #. Die Produktregel lautet

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Anwenden auf unsere Funktion,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Wir haben

# d / dx f (x) = (d / dx (x - e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x - e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Zusätzlich müssen wir die Linearität der Ableitung verwenden

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Anwenden dieses haben wir

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx) (sinx)) #.

Wir müssen die einzelnen Ableitungen dieser Funktionen machen, die wir verwenden

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Jetzt haben wir

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x - e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1 - e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x - e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

An diesem Punkt haben wir nur ein bisschen gegessen

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #