Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sin2theta aus [0, pi / 6]?

Antworten:

# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Erläuterung:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

Lassen

#Farbe (rot) (u = 2theta) #

#color (rot) (du = 2d theta) #

#color (rot) (d theta = (du) / 2) #

Die Grenzen werden in geändert #Farbe (blau) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = int_color (blau) 0 ^ farbe (blau) (pi / 3) sincolor (rot) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Da kennen wir die# intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

deshalb,# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx aus [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 Aus dem Gegebenen ist int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Zunächst vereinfachen wir zunächst den Integranden int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + Inx] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + Inx ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int (2t-1) ^ 2 aus [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Sei u = 2t-1 impliziert du = 2dt, also dt = (du) / 2 Die Grenzen transformieren: t: 0rarr1 impliziert u: -1rarr1 Integral wird: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1/3u ^ 3] _ (-1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) aus [0, pi / 4]?

Pi / 4 Beachten Sie, dass aus der zweiten pythagoräischen Identität 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x bedeutet. Dies bedeutet, dass der Bruch gleich 1 ist und das recht einfache Integral von int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ bleibt (pi / 4) = pi / 4