![Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) aus [0, pi / 4]?](https://img.go-homework.com/img/algebra/how-do-you-evaluate-the-expression-2x-y-for-x1-and-y-2.jpg "Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) aus [0, pi / 4]?")
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Erläuterung:
Beachten Sie das aus der zweiten pythagoreischen Identität
Dies bedeutet, dass der Bruch gleich 1 ist und dies lässt uns das ziemlich einfache Integral von
Antworten:
Erläuterung:
Interessanterweise können wir auch feststellen, dass dies zur Form des Arkustangens-Integrals passt, nämlich:
# int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #
Hier, wenn
# intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #
Grenzen hinzufügen:
# int_0 ^ (pi / 4) sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #
Wie beurteilen Sie das definitive Integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx aus [3,9]?
![Wie beurteilen Sie das definitive Integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx aus [3,9]?](https://img.go-homework.com/algebra/how-do-you-evaluate-the-expression-3xx/y-when-x4-and-y2.png "Wie beurteilen Sie das definitive Integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx aus [3,9]?")
Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 Aus dem Gegebenen ist int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Zunächst vereinfachen wir zunächst den Integranden int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + Inx] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + Inx ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (
Wie beurteilen Sie das definitive Integral int (2t-1) ^ 2 aus [0,1]?
1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Sei u = 2t-1 impliziert du = 2dt, also dt = (du) / 2 Die Grenzen transformieren: t: 0rarr1 impliziert u: -1rarr1 Integral wird: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1/3u ^ 3] _ (-1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3
Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sin2theta aus [0, pi / 6]?
Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta (rot) (u = 2theta) farbe (rot) (du = 2d theta) farbe (rot) ( d theta = (du) / 2) Die Grenzen werden in Farbe (blau) ([0, pi / 3]) geändert. int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color (blau) 0 ^ Farbe (blau) (pi / 3) sincolor (rot) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu Wie wir wissen, ist theintsinx = -cosx = -1 / 2 (cos (pi / 3) -cos0) = -1 / 2 (1 / 2-1) = -1 / 2 · -1 / 2 = 1/4 Daher ist int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4