Wie beurteilen Sie das definitive Integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx aus [3,9]?

Antworten:

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = #

# 9/8-Quadrat3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 #

Erläuterung:

Aus dem gegebenen, # int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

Wir beginnen mit der Vereinfachung des Integranden

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx #

# (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx #

# (1/16) * x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * x + 4 * x ^ (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * (9 + 4 * 9 ^ (1/2) + In9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + Inn 3) #

# (1/16) * 9 + 12 + ln 9-3-4sqrt3-ln 3 #

# (1/16) (18-4sqrt3 + ln 3) #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 #

#0.7606505661495#

Gott segne … ich hoffe die Erklärung ist nützlich.

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int (2t-1) ^ 2 aus [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Sei u = 2t-1 impliziert du = 2dt, also dt = (du) / 2 Die Grenzen transformieren: t: 0rarr1 impliziert u: -1rarr1 Integral wird: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1/3u ^ 3] _ (-1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) aus [0, pi / 4]?

Pi / 4 Beachten Sie, dass aus der zweiten pythagoräischen Identität 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x bedeutet. Dies bedeutet, dass der Bruch gleich 1 ist und das recht einfache Integral von int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ bleibt (pi / 4) = pi / 4

Wie beurteilen Sie das definitive Integral int sin2theta aus [0, pi / 6]?

Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta (rot) (u = 2theta) farbe (rot) (du = 2d theta) farbe (rot) ( d theta = (du) / 2) Die Grenzen werden in Farbe (blau) ([0, pi / 3]) geändert. int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color (blau) 0 ^ Farbe (blau) (pi / 3) sincolor (rot) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu Wie wir wissen, ist theintsinx = -cosx = -1 / 2 (cos (pi / 3) -cos0) = -1 / 2 (1 / 2-1) = -1 / 2 · -1 / 2 = 1/4 Daher ist int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4