Was sind die lokalen Extrema von f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Antworten:

#f (x) # hat ein lokales Maximum bei #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # hat ein lokales Minimum an #approx (3.2301, -0.2362) #

Erläuterung:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Produktregel anwenden

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Übernehmen Sie die Power-Regel.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Für lokale Extreme #f '(x) = 0 #

Daher, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Anwenden der quadratischen Formel

# x = (+ 10 + - Quadrat ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + - Quadrat (88)) / 6 #

# ca. 3.2301 oder 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Für lokales Maximum #f '' <0 # am äußersten Punkt.

Für lokales Minimum #f ''> 0 # am äußersten Punkt.

Testen #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Testen #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Daher, #f_max näher (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

Und, #f_min näher (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # hat ein lokales Maximum bei #approx (0.1032, 15.0510) #

#und f (x) # hat ein lokales Minimum an #approx (3.2301, -0.2362) #

Wir können diese lokalen Extrema sehen, indem wir auf die relevanten Punkte in der Grafik von zoomen #f (x) # unten.

Graph {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29,02, 28,72, -6,2, 22,63}