Was sind die Asymptoten und Löcher, falls vorhanden, von f (x) = (2-e ^ (x)) / (3x-2xe ^ (x / 2))?

Antworten:

Vertikale Asymptoten: x = 0, #ln (9/4) #

Horizontale Asymptoten: y = 0

Schräge Asymptoten: Keine

Löcher: Keine

Erläuterung:

Das # e ^ x # Teile können verwirrend sein, aber machen Sie sich keine Sorgen, wenden Sie einfach die gleichen Regeln an.

Ich fange mit dem einfachen Teil an: Die vertikalen Asymptoten

Um nach denen zu suchen, die Sie als Nenner auf Null setzen, ist der Nenner undefiniert. So:

# 3x-2xe ^ (x / 2) = 0 #

Dann fällen wir ein x aus

#x (3-2e ^ (x / 2)) = 0 #

Also ist eine der vertikalen Asymptoten x = 0. Also, wenn wir die nächste Gleichung lösen.

# (3-2e ^ (x / 2)) = 0 # Dann verwenden Sie Algebra, isolieren Sie den Exponenten: # -2e ^ (x / 2) = - 3 #

Dann dividiere durch -2: # e ^ (x / 2) = 3/2 #

Schließlich nehmen wir das natürliche Protokoll beider Seiten als Mittel, um den Exponenten auszuschalten: #ln (e ^ (x / 2)) = ln (3/2) #

Links bleiben wir also bei # x / 2 = ln (3/2) #

Diese letzte Null ist also #x = 2 In (3/2) # und wegen der Exponentenprotokolleigenschaft, die angibt #ln (x ^ n) = n * ln (x) #ist es äquivalent zu #x = ln (9/4) #

Nun, da wir das festgestellt haben, ist der Rest einfach. Da sich der Zähler nicht in den Nenner teilt, kann es keine schräge Asymptote geben. Der Nenner hat auch einen größeren Grad als der Zähler. Wenn Sie versuchen, den Nenner wie oben gezeigt zu faktorisieren, stimmt keiner der Faktoren mit dem Zähler überein

Zum Schluss haben wir eine horizontale Asymptote von y = 0, weil das # e ^ x # Funktion ist niemals gleich Null.

Schlüsselpunkte:

1. # e ^ x ne 0 #