Z1 + z2 = z1 + z2 wenn und nur dann, wenn arg (z1) = arg (z2) ist, wobei z1 und z2 komplexe Zahlen sind. Wie? bitte erkläre!

Antworten:

Bitte verweisen Sie auf die Diskussion in dem Erläuterung.

Erläuterung:

Lassen, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 und arg (z_j) = theta_j in (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Deutlich, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Erinnere dich daran, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (Stern ^ 1) #.

# "Jetzt", z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, d. h. #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (Stern ^ 2). #

Von # (Stern ^ 1) und (Stern ^ 2) # wir bekommen, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Abbrechen" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2 kpi + -0, k in ZZ. #

# "Aber" theta_1, theta_2 in (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0 oder #

# theta_1 = theta_2, "geben", arg (z_1) = arg (z_2), # wie erwünscht!

So haben wir gezeigt, dass

# | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

Das unterhalten kann auf ähnlichen Linien nachgewiesen werden.

Genießen Sie Mathe.!