Wie integrieren Sie int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Antworten:

Verwenden ein # u #-substitution zu bekommen # -3lnabs (Kinderbett (t)) + C #.

Erläuterung:

Beachten Sie zuerst, dass #3# ist eine Konstante, wir können es aus dem Integral ziehen, um zu vereinfachen:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Nun - und das ist der wichtigste Teil - beachten Sie, dass die Ableitung von #cot (t) # ist # -csc ^ 2 (t) #. Da wir eine Funktion und ihre Ableitung im selben Integral haben, können wir a anwenden # u # Substitution wie folgt:

# u = Kinderbett (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Wir können das Positive umwandeln # csc ^ 2 (t) # zu einem negativen so:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Und wende den Ersatz an:

# -3int (du) / u #

Wir wissen das #int (du) / u = lnabs (u) + C #, so wird das Integral ausgewertet. Wir müssen nur den Ersatz umkehren (die Antwort in Form von zurückgeben) # t #) und befestigen Sie das #-3# zum Ergebnis Schon seit # u = Kinderbett (t) #, Wir können sagen:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (Kinderbett (t)) + C #

Und das ist alles.

Antworten:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Erläuterung:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Erinnere dich daran

#sin 2t = 2sint * Kosten #

So

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Wie wir in einer Tabelle von Integralen finden können

(z. B. Tabelle der Integrale, die Csc (ax) in SOS Math enthalten):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

Wir bekommen dieses Ergebnis

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #