Wie integrieren Sie int sec ^ -1x durch Integration nach Parts-Methode?

Antworten:

Die Antwort ist # = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Erläuterung:

Wir brauchen

# (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integration durch Teile ist

# intu'v = uv-intuv '#

Hier haben wir

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "arc" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Deshalb, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Führen Sie das zweite Integral durch Ersetzung aus

Lassen # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) du) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Lassen # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

So, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Endlich, #int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Antworten:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Erläuterung:

Alternativ können wir eine wenig bekannte Formel verwenden, um Integrale inverser Funktionen zu ermitteln. Die Formel lautet:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

woher # f ^ -1 (x) # ist das Gegenteil von #f (x) # und #F (x) # ist das Anti-Derivat von #f (x) #.

In unserem Fall erhalten wir:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Jetzt müssen wir nur noch das Anti-Derivat ausarbeiten # F #, das ist das bekannte Sekantenintegral:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Wenn Sie dies wieder in die Formel einfügen, erhalten Sie unsere endgültige Antwort:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Wir müssen beim Vereinfachen vorsichtig sein #tan (sec ^ -1 (x)) # zu #sqrt (x ^ 2-1) # denn die identität ist nur gültig wenn # x # ist positiv. Wir haben jedoch Glück, weil wir dies korrigieren können, indem Sie den anderen Ausdruck innerhalb des Logarithmus absolut setzen. Dies macht auch den ersten absoluten Wert überflüssig, da alles im Logarithmus immer positiv ist:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #