Was ist int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Antworten:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Erläuterung:

Diese Erklärung ist etwas lang, aber ich konnte keinen schnelleren Weg finden …

Das Integral ist eine lineare Anwendung, sodass Sie die Funktion bereits unter dem Integralzeichen aufteilen können.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Die ersten beiden Ausdrücke sind Polynomfunktionen, daher sind sie leicht zu integrieren. Ich zeige Ihnen, wie es geht # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # so # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Sie tun genau dasselbe für # x ^ 3 #, Das Ergebnis ist #255/4#.

Finden #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # ist etwas lang und kompliziert. Zuerst multiplizieren Sie den Bruch mit #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # und dann ändern Sie die Variable: Sagen wir #u = sqrt (x-1) #. So # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # und du musst jetzt finden # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Um es zu finden, benötigen Sie die Teilbruchzerlegung der rationalen Funktion # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # mit # a, b, c, d in RR #. Nach dem Kalkül finden wir das heraus # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 + 1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, was bedeutet, dass # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # ist wohl bekannt #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Endlich, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Sie ersetzen # u # durch seinen ursprünglichen Ausdruck mit # x # haben #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, welches ist #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

So endlich, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #