Antworten:
#3#
Erläuterung:
Lassen
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt) (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #) #
wo wir unsere Lösung zwingen, positiv zu sein, da wir nur die positive Quadratwurzel nehmen, d. #x> = 0 #. Wir haben beide Seiten im Quadrat
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt) (7 + … oo #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #) #
Wo diesmal die linke Seite positiv ist, da wir nur die positive Quadratwurzel wollen, d.h.
# x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
wo wir die möglichkeit beseitigt haben #x <= - sqrt (7) # mit unserer ersten Einschränkung.
Wir haben wieder beide Seiten quadriert
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #) #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt) (7 + …….. oo #
Der Ausdruck in den wiederholten Quadratwurzeln ist der ursprüngliche Ausdruck für # x #, deshalb
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
oder
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Probelösungen dieser Gleichung sind # x = -2 # und # x = + 3 # was zu folgender Faktorisierung führt
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Verwenden Sie die quadratische Formel für den dritten Faktor # (x ^ 2 + x-7) = 0 # gibt uns zwei weitere Wurzeln:
# (- 1 + - Quadrat (29)) / 2 ~ = 2,19 "und" -3,19 #
Die vier Wurzeln des Polynoms sind daher #-3.19…, -2, 2.19…, # und #3#. Nur einer dieser Werte erfüllt unsere Einschränkung #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, deshalb
# x = 3 #
Antworten:
Ein anderer Weg
Erläuterung:
Ich bespreche gerne eine knifflige Lösung, um das Problem wiederholter Quadratwurzeln wie die folgende auf einen Blick zu lösen
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sq …)
woher # r # gehört zu folgender Serie
#3,7,13,21,31…………#, dessen allgemeine Bezeichnung gegeben ist durch
# m ^ 2-m + 1 # woher # m epsilon N # und #m> 1 #
TRICK
Wenn 1 von der angegebenen Zahl abgezogen wird # m ^ 2-m + 1 # Die resultierende Zahl wird # m ^ 2-m # welches ist #m (m-1) # und das ist nichts anderes als das Produkt von zwei aufeinanderfolgenden und größeren zwei dieser beiden wird die einzigartige Lösung des Problems sein.
wenn r = # m ^ 2-m + 1 # der Faktor von # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # und m ist die Antwort
Wenn r = 3 ist der Faktor von (3-1) = 2 = 1,2 und 2 die Antwort
Wenn r = 7 ist, ist der Faktor von (7-1) = 6 = 2,3 und 3 die Antwort
und so weiter…….
Erläuterung
Nehmen
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Beide Seiten quadrieren
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Wieder Quadrieren beider Seiten
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
Setzen von r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
Wenn wir x = m in die LHS dieser Gleichung setzen, wird die LHS
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (Abbruch (m ^ 2) - Abbruch (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
Die Gleichung ist erfüllt.
Daher ist m die Antwort
Lasst uns
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt) … #
Das können wir leicht sehen
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Also lösen wir die Gleichung:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Dies ist keine triviale Gleichung, die gelöst werden muss. Eine der anderen Personen, die die Frage beantworteten, verwies auf die Lösung 3. Wenn Sie es versuchen, werden Sie feststellen, dass es wahr ist.
