Was sind Kreuzprodukte?

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Wenn Sie auf Vektoren stoßen #3# Dimensionen, dann treffen Sie zwei Möglichkeiten, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren:

Kreuzprodukt

Geschrieben #vec (u) xx vec (v) #Dies nimmt zwei Vektoren und erzeugt einen Vektor senkrecht zu beiden oder den Nullvektor if #vec (u) # und #vec (v) # sind parallel.

Ob #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # und #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # dann:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, Farbe (weiß) (.) u_3v_1-u_1v_3, Farbe (weiß) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Dies wird manchmal als Determinante von a beschrieben # 3 xx 3 # Matrix und die drei Einheitsvektoren #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((Hut (i), Hut (j), Hut (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Wie wäre es mit der Teilung?

Weder das Punktprodukt noch das Kreuzprodukt erlauben eine Aufteilung der Vektoren. Um herauszufinden, wie Sie Vektoren teilen, können Sie sich die Quaternionen ansehen. Die Quaternionen bilden a #4# dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen und Arithmetik mit nichtkommutativer Multiplikation, die als Kombination von Punktprodukt und Kreuzprodukt ausgedrückt werden kann. Das ist eigentlich der falsche Weg, da die Quaternion-Arithmetik der modernen Darstellung von Vektoren, Punkt- und Kreuzprodukten vorausgeht.

Wie auch immer, wir können sagen, dass eine Quaternion als Kombination aus einem Skalaranteil und einem Vektoranteil geschrieben werden kann, wobei die Arithmetik definiert wird durch:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (v_2)) #

Für ein sehr interessantes verbundenes Gespräch sehen Sie dieses …

Das Leben vor den Vektoren