Wie wählt man zwei Zahlen aus, bei denen die Summe ihrer Quadratwurzeln minimal ist, wissend, dass das Produkt der beiden Zahlen ein ist?

Antworten:

# x = y = sqrt (a) #

Erläuterung:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "ist minimal" #

# "Wir könnten mit dem Lagrange-Multiplikator L arbeiten:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Erträge ableiten:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(nach Multiplikation mit x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Jetzt müssen wir noch x = 0 überprüfen." #

# "Dies ist unmöglich, da x * y = 0 ist." #

# "So haben wir die einzigartige Lösung" #

# x = y = sqrt (a) #

Antworten:

Ich werde versuchen, Sie durch die unten beschriebene Lösungsmethode zu führen.

Erläuterung:

Was suchen wir?

Zwei Zahlen Geben wir ihnen Namen, # x # und # y #.

Lesen Sie die Frage erneut.

Wir wollen die Summe der Quadratwurzeln minimal machen.

Das sagt uns zwei Dinge

(1) beide Zahlen sind nicht negativ (um Phantasien zu vermeiden)

(2) Wir interessieren uns für den Wert von # sqrtx + sqrty #

Lesen Sie die Frage erneut.

Uns wird auch gesagt, dass das Produkt von # x # und # y # ist #ein#.

Wer wählt #ein#?

Im Allgemeinen, wenn eine Übung etwas dazu sagt #ein# oder # b # oder # c #Wir nehmen diese als Konstanten von jemand anderem.

Man könnte uns also sagen "das Produkt von # x # und # y # ist #11#'

oder "das Produkt von # x # und # y # ist #124#'.

Wir müssen all dies auf einmal lösen, indem wir sagen # xy = a # für einige konstant #ein#.

Also wollen wir machen # sqrtx + sqrty # so klein wie möglich halten # xy = a # für einige konstant #ein#.

Das sieht nach einem Optimierungsproblem aus und ist eins. Ich möchte also eine Funktion einer Variablen minimieren.

# sqrtx + sqrty # hat zwei Variablen, # x # und # y #

# xy = a # hat auch zwei Variablen, # x # und # y # (merken #ein# ist eine Konstante)

So #y = a / x #

Jetzt wollen wir minimieren:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Suchen Sie die Ableitung, dann die kritischen Zahlen und testen Sie die kritischen Zahlen. Beende das Finden # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritisch # sqrta #

#f '(x) <0 # zum #x <sqrta # und #f '(x)> 0 # zum #x> sqrta #, so #f (sqrta) # ist ein Minimum.

#x = sqrta # und #y = a / x = sqrta #

Antworten:

# 2 Wurzel (4) (a) #

Erläuterung:

Wir wissen das für #x_i> 0 # wir haben

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

dann

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # dann

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

aber # x_1x_2 = a # dann

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #