Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die (-i + j + k) und (3i + 2j - 3k) enthält?

Antworten:

Je nach Reihenfolge der Operationen gibt es hier zwei Einheitsvektoren. Sie sind # (- 5i + 0j -5k) # und # (5i + 0j 5k) #

Erläuterung:

Wenn Sie das Kreuzprodukt zweier Vektoren nehmen, berechnen Sie den Vektor, der orthogonal zu den ersten beiden ist. Die Lösung von # vecAoxvecB # ist normalerweise gleich und entgegengesetzt in der Größenordnung von # vecBoxvecA #.

Als schnelle Auffrischung ein Kreuzprodukt von # vecAoxvecB # erstellt eine 3x3-Matrix, die wie folgt aussieht:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

und Sie erhalten jeden Ausdruck, indem Sie das Produkt der diagonalen Terme von links nach rechts nehmen, beginnend mit einem gegebenen Einheitsvektorbuchstaben (i, j oder k) und subtrahieren Sie das Produkt der diagonalen Terme von rechts nach links, beginnend mit dem gleicher Einheitsvektorbuchstabe:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Für die zwei Lösungen lassen Sie uns einstellen:

#vecA = - i + j + k #

# vecB = 3i + 2j-3k #

Sehen wir uns beide Lösungen an:

# vecAoxvecB #

Wie oben erwähnt:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (rot) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

# vecBoxvecA #

Um die erste Formulierung umzudrehen, nehmen Sie die Diagonalen erneut, aber die Matrix ist anders geformt:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Beachten Sie, dass die Subtraktionen umgedreht werden. Dies ist, was die "Gleiche und entgegengesetzte" Form verursacht.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (blau) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #

Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die (i + j - k) und (i - j + k) enthält?

Wir wissen, dass wenn vec C = vec A × vec B ist, dann ist vec C sowohl senkrecht zu vec A als auch zu vec B. Was wir also brauchen, ist das Kreuzprodukt der gegebenen zwei Vektoren zu finden. Also, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Der Einheitsvektor ist also (-2 (hatk +) hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die <0, 4, 4> und <1, 1, 1> enthält?

Die Antwort ist = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉 Der Vektor, der senkrecht zu 2 anderen Vektoren steht, ist durch das Kreuzprodukt gegeben. 〈0,4,4〉 x 1,1,1〉 = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = 〈0,4, -4> Überprüfung durch Ausführen der Punktprodukte <0,4,4>. <0,4, -4> = 0 + 16-16 = 0 <1,1,1>. <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Der Modul von <0,4, -4> ist = <0,4>. 4〉 = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Der Einheitsvektor wird durch Division des Vektors durch den Modul = 1 / (4sqrt2)) 0,4, -4〉 = 〈0,1 / sqrt2 erhalten. -1 / sqrt2〉

Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die (20j + 31k) und (32i-38j-12k) enthält?

Der Einheitsvektor ist = 1 / 1507.8 <938.992, -640> Der Vektor, der zu 2 Vectros in einer Ebene orthogonal ist, wird mit der Determinante | berechnet (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | Dabei sind 〈d, e, f〉 und 〈g, h, i〉 die 2 Vektoren. Hier haben wir veca = 〈0,20,31〉 und vecb = 〈32, -38, -12〉 (veci, vecj, veck), (0,20,31), (32, -38, -12) | = veci | (20,31), (-38, -12) | -vecj | (0,31), (32, -12) | + veck | (0,20), (32, -38) | = veci (20 * -12 + 38 * 31) -vecj (0 * -12-31 * 32) + veck (0 * -38-32 * 20) = 38 938.992, -640〉 = vecc Überprüfung durch Ausführen von 2 Punkten Produkte <938 992, -64