Was ist der Minimalwert von g (x) = x / csc (pi * x) für das Intervall [0,1]?

Antworten:

Es gibt einen Mindestwert von #0# beides befindet sich am # x = 0 # und # x = 1 #.

Erläuterung:

Erstens können wir diese Funktion sofort als schreiben

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Ich erinnere mich daran #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Um nun Mindestwerte für ein Intervall zu ermitteln, müssen Sie erkennen, dass diese entweder an den Endpunkten des Intervalls oder an kritischen Werten auftreten können, die innerhalb des Intervalls auftreten.

Um die kritischen Werte innerhalb des Intervalls zu ermitteln, setzen Sie die Ableitung der Funktion auf #0#.

Um die Funktion zu unterscheiden, müssen wir die Funktion verwenden Produktregel. Die Anwendung der Produktregel gibt uns

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Jedes dieser Derivate ergibt:

# d / dx (x) = 1 #

Und durch die Kettenregel:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * Unterlauf (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Wenn wir diese kombinieren, sehen wir das

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Somit treten kritische Werte immer auf

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Wir können dies nicht algebraisch lösen. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um alle Nullen dieser Funktion im angegebenen Intervall zu finden #0,1#:

Graph {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Die zwei kritischen Werte innerhalb des Intervalls liegen bei # x = 0 # und # xapprox0.6485 #.

Wir wissen also, dass der Mindestwert von #g (x) # könnte bei auftreten #3# verschiedene Orte:

• # x = 0 # oder # x = 1 #die Endpunkte des Intervalls
• # x = 0 # oder # x = 0,6485 #die kritischen Werte innerhalb des Intervalls

Fügen Sie nun jeden dieser möglichen Werte in das Intervall ein:

# {(g (0) = 0, Farbe (rot) Text (Minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, Farbe (Blau) Text (Maximum)), (g (1) = 0, Farbe (Rot) Text (Minimum)):} #

Da es zwei Werte gibt, die gleich niedrig sind, gibt es beide Minima # x = 0 # und # x = 1 #. Beachten Sie, dass, obwohl wir die Schwierigkeiten von gefunden haben # x = 0,6485 #Es war nicht einmal ein Minimum.

Dargestellt ist #g (x) # auf dem Intervall #0,1#:

Graph {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Beachten Sie auch, dass der Mindestwert ist #0#, schon seit #g (0) = g (1) = 0 #. Der Unterschied ist das # x = 0 # und # x = 1 # sind die Standorte der Minima.