Wie integrieren Sie f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

Antworten:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Erläuterung:

Da der Nenner bereits faktorisiert ist, müssen wir nur für die Teilkonstanten die Konstanten auflösen:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Beachten Sie, dass wir beide brauchen # x # und ein konstanter Ausdruck für den Bruch ganz links, da der Zähler immer um 1 Grad unter dem Nenner liegt.

Wir könnten uns durch den Nenner auf der linken Seite multiplizieren, aber das wäre eine enorme Menge Arbeit, also können wir stattdessen klug sein und die Vertuschungsmethode verwenden.

Ich werde den Prozess nicht im Detail durchgehen, aber im Wesentlichen erfahren wir, was den Nenner gleich Null macht (im Fall von # C # es ist # x = 3 #) und steckte es in die linke Seite und wertete es aus, während der Faktor, der der Konstante entspricht, abgedeckt wird.

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (Text (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Wir können dasselbe für tun # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (Text (////))) = 35/51 #

Die Vertuschungsmethode funktioniert nur für lineare Faktoren #EIN# und # B # mit der traditionellen Methode und Multiplikation mit dem linken Nenner:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Wenn wir die gesamte Klammer multiplizieren und alle Koeffizienten der verschiedenen Werte gleichsetzen # x # und konstanten Bedingungen können wir die Werte von #EIN# und # B #. Es ist eine ziemlich langwierige Kalkulation, also werde ich einfach einen Link für alle Interessierten hinterlassen:

Klick hier

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Daraus ergibt sich, dass unser Integral ist:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Die ersten beiden können durch einfache U-Substitutionen der Nenner gelöst werden:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Wir können das verbleibende Integral in zwei Teile aufteilen:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Ich werde das linke Integral 1 und das rechte Integral 2 nennen.

Integral 1

Wir können dieses Integral durch eine U-Substitution von lösen # u = x ^ 2 + 2 #. Die Ableitung ist # 2x #so teilen wir uns durch # 2x # in Bezug auf integrieren # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79/2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Wir wollen dieses Integral in die Form für bekommen # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Wenn wir eine Substitution mit einführen # x = sqrt2u #können wir unser Integral in diese Form umwandeln. In Bezug auf integrieren # u #, müssen wir uns mit multiplizieren # sqrt2 # (da wir die Ableitung in Bezug auf # u # anstatt # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Vervollständigung des ursprünglichen Integrals

Nachdem wir nun wissen, was Integral 1 und Integral 2 entsprechen, können wir das ursprüngliche Integral fertigstellen, um unsere endgültige Antwort zu erhalten:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #