Wie integrieren Sie int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) unter Verwendung von Teilfraktionen?

Antworten:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Erläuterung:

Richten Sie die Gleichung ein, um die Variablen A, B, C aufzulösen

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #

Lassen Sie uns zuerst nach A, B, C lösen

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Vereinfachen

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x-) 1) (x + 1) ^ 2) #

Ordnen Sie die Bedingungen der rechten Seite neu an

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x. 1) +1) ^ 2) #

Lassen Sie uns die Gleichungen einrichten, um nach A, B, C zu suchen, indem Sie die numerischen Koeffizienten der linken und rechten Terme anpassen

# A + B = 4 "" #erste Gleichung

# 2A + C = 6 "" #zweite Gleichung

# A-B-C = -2 "" #dritte Gleichung

Gleichzeitige Lösung mit zweiten und dritten Gleichungsergebnissen zu

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #vierte Gleichung

Verwenden Sie jetzt die erste und die vierte Gleichung

# 3A-B = 4 "" #vierte Gleichung

# 3 (4-B) -B = 4 "#vierte Gleichung

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Löse für A mit # 3A-B = 4 "" #vierte Gleichung

# 3A-2 = 4 "" #vierte Gleichung

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Lösen Sie C mit # 2A + C = 6 "" #zweite Gleichung und # A = 2 # und # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #zweite Gleichung

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Wir führen jetzt unsere Integration durch

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1)) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Gott segne … ich hoffe die Erklärung ist nützlich.

Wie integrieren Sie f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Da der Nenner ist bereits faktorisiert, wir müssen nur Teilfraktionen für die Konstanten lösen: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Beachten Sie, dass wir sowohl einen x als auch einen konstanten Term für den ganz linken Bruch benötigen, da der Zähler immer um 1 Grad niedriger ist der Nenner. Wir könnten uns durch den Nenner auf der linken Seite multiplizieren, aber das wäre eine enorme Menge Arbeit, also können wir stattdesse

Wie integrieren Sie int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) mit Teilfraktionen?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Wir müssen A, B, C so finden, dass 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 ist + C / (2x-1) für alle x. Multiplizieren Sie beide Seiten mit x ^ 2 (2x-1), um 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 = zu erhalten (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Gleichstellende Koeffizienten geben uns {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):}. Damit haben wir A = -2, B = -1, C = 4. Setzen wir dies in die Anfangsgleichung ein, erhalten wir 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Nun integrieren Sie den Term durch den Term int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, um

Wie integriert man int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 In abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 Inabs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1)) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 In abs (x-7) + C-Farbe (weiß) () Woher stammen diese Koeffizienten? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) We a, b, c kann mit der Heaviside-Methode "Vertuschung" berechnet werden: a = (1-2 (Farbe (blau) (- 1)) ^ 2) / (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (((Farbe ( blau) (- 1)) + 1)))) ((Farbe (blau) (- 1)) - 6)