Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (4, 7), (8, 2) und (5, 6) #?

Antworten:

Orthozentrum-Koordinaten #Farbe (rot) (O (40, 34) #

Erläuterung:

Steigung des Liniensegments BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Steigung von #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Höhengleichung durch A und senkrecht zu BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Gleichung (1)

Steigung des Liniensegments AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Steigung der Höhe BE senkrecht zu BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Höhengleichung durch B und senkrecht zu AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Gleichung (2)

Wenn wir die Gleichungen (1), (2) lösen, kommen wir zu den Koordinaten des Orthozentrums O

#x = 40, y = 34 #

Koordinaten des Orthozentrums #O (40, 34) #

Überprüfung:

Steigung von #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Höhengleichung CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Gleichung (3)

Orthozentrum-Koordinaten #O (40, 34) #

Antworten:

Orthozentrum: #(40,34)#

Erläuterung:

Ich habe den halb allgemeinen Fall hier erarbeitet (http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4) -und-2-8)

Die Schlussfolgerung ist das Orthozentrum des Dreiecks mit Scheitelpunkten # (a, b), # #(CD)# und #(0,0)# ist

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Testen Sie es, indem Sie es auf dieses Dreieck anwenden und das Ergebnis mit der anderen Antwort vergleichen.

Zuerst übersetzen wir (5, 6) zum Ursprung und geben die beiden anderen übersetzten Scheitelpunkte an:

# (a, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Wir wenden die Formel im übersetzten Raum an:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {-1 (-4) -1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4)) = (35,28) #

Jetzt übersetzen wir für unser Ergebnis zurück:

Orthozentrum: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Das stimmt mit der anderen Antwort überein!