Was ist die Inverse von f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Antworten:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Erläuterung:

Angenommen, wir haben es zu tun # log_3 # als eine real geschätzte Funktion und Inverse von # 3 ^ x #dann die Domäne von #f (x) # ist # (3, oo) #, da brauchen wir #x> 3 # damit das # log_3 (x-3) # definiert sein.

Lassen #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Dann:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

So:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

So:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

So:

# x-3/2 = + -Sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

In der Tat muss es die positive Quadratwurzel sein seit:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

So:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Daher:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #