Wandle alle komplexen Zahlen in trigonometrische Form um und vereinfache dann den Ausdruck? Schreiben Sie die Antwort in Standardform.

Antworten:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Erläuterung:

In einer anderen Antwort auf diese Frage, die ich vermutete, gab es einen Tippfehler in dieser und jener Frage #-3# sollte sein # -sqrt {3} #. Ich habe in einem Kommentar versichert, dass dies nicht der Fall ist, dass die Frage korrekt ist.

Ich werde nicht wiederholen, wie wir bestimmt haben

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Aber jetzt müssen wir konvertieren # -3 + i # trigonometrische Form. Wir können es schaffen, aber da es nicht eines der von Trig bevorzugten Dreiecke ist, ist es etwas unbeholfener.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Wir befinden uns im zweiten Quadranten und der Hauptwert des inversen Tangens ist der vierte Quadrant.

# angle (-3 + i) = text {Arc} Text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (Text {Arc} Text {Tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre funktioniert bei so einer Form nicht besonders gut, bekommen wir

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (Text {Arc} Text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Aber wir stecken nicht fest. Da ist der Exponent nur #3# Wir können dies mit Dreifachwinkelformeln tun. Nennen wir den konstanten Winkel, den wir gefunden haben

#theta = Winkel (-3 + i) #

Von De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3 theta) + i sin (3 theta)) #

Wir wissen

# cos theta = -3 / sqrt {10}, Quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (-3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Das scheint viel mehr Arbeit zu sein als nur Würfeln # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i Quadrate #

OK, lass uns das Problem machen:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

Ach, es hört nie auf. Wir bekommen

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #

Was ist die Antwort, wenn der Ausdruck die komplexen Zahlen berücksichtigt? x ^ 2 + 50

A = (0,50) Wurzeln: B = (5sqrt (2) * i, 0) C = (- 5sqrt (2) * i, 0) (0,0) min f _ ((x)) = x ^ 2 +50 f _ ((0)) = (0) ^ 2 + 50 = 50 f_ (x) = 0 => x ^ 2 + 50 = 0 => x ^ 2 = -50 => x = + - sqrt (- 50) (sqrt (50) = sqrt (25 * 2) = sqrt (25) * sqrt (2) = 5 * sqrt (2))) => x = + - 5sqrt (2) * i So weit so gut , da wir (0,50) AND (+ -5sqrt (2) * i, 0) haben. Jetzt werden wir prüfen, ob wir max / min haben. Weil a> 0 (a * x ^ 2 + 50) die Funktion "lächelt" :) Also haben wir ein min f '_ ((x)) = 2 * x f' _ ((x)) = 0 => 2 * x = 0 => x = 0 Also haben wir (0,50) AND (+ -5sqrt (2) * i, 0)

Oft wird eine Antwort, die "verbesserungswürdig" ist, von einer zweiten, völlig akzeptablen Antwort begleitet. Eine fehlerhafte Antwort zu verbessern, würde sie der "guten" Antwort ähneln. Was ist zu tun …?

"Was ist zu tun...?" Meinen Sie, was sollen wir tun, wenn wir feststellen, dass dies passiert ist? ... oder sollten wir eine fehlerhafte Antwort bearbeiten, anstatt eine neue hinzuzufügen? Wenn wir feststellen, dass dies passiert ist, würde ich vorschlagen, dass wir beide Antworten so belassen, wie sie sind (es sei denn, Sie glauben, dass etwas anderes vor sich geht ... dann fügen Sie vielleicht einen Kommentar hinzu). Ob wir eine fehlerhafte Antwort verbessern sollten, ist etwas problematischer. Wenn es sich um eine einfache Korrektur handelt, die als "Tippfehler" abgeschrieben werden k&

Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck. Geben Sie Einschränkungen für die Variable an. Bitte überprüfen Sie meine Antwort und erklären Sie mir, wie ich zu meiner Antwort komme. Ich weiß, wie man die Einschränkungen durchführt, es ist die letzte Antwort, über die ich verwirrt bin

((8x + 26) / ((x + 4) (x-4) (x + 3))) Einschränkungen: -4,4, -3 (6 / (x ^ 2-16)) - (2 / ( x ^ 2-x-12)) Faktorisierung der unteren Teile: = (6 / ((x + 4) (x-4))) - (2 / ((x-4) (x + 3))) Multipliziert mit ((x + 3) / (x + 3)) und rechts von ((x + 4) / (x + 4)) (gemeinsame Denomanatoren) = (6 (x + 3)) / ((x + 4) ( x-4) (x + 3)) - (2 (x + 4)) / ((x-4) (x + 3) (x + 4)) was vereinfacht wird zu: ((4x + 10) / (( x + 4) (x-4) (x + 3))) ... trotzdem sehen die Einschränkungen gut aus. Wie Sie sehen, haben Sie diese Frage vor einiger Zeit gestellt, hier ist meine Antwort. Wenn Sie mehr Hilfe benötigen, fragen Sie einfach