Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (1, 3), (5, 7) und (9, 8) #?

Antworten:

#(-10/3,61/3)#

Erläuterung:

Wiederholen der Punkte:

#A (1,3) #

#B (5,7) #

#C (9,8) #

Das Orthozentrum eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die Höhenlinien relativ zu jeder Seite (durch den gegenüberliegenden Scheitelpunkt) treffen. Wir brauchen also nur die Gleichungen von 2 Zeilen.

Die Steigung einer Linie ist # k = (Delta y) / (Delta x) # und die Steigung der Linie senkrecht zur ersten ist # p = -1 / k # (wann #k! = 0 #).

# AB-> k_1 = (7-3) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # p_1 = -1 #

# BC-> k = (8-7) / (9-5) = 1/4 # => # p_2 = -4 #

Liniengleichung (Durchlauf) # C #), in dem die Höhe senkrecht zu AB liegt

# (y-y_C) = p (x-x_C) # => # (y-8) = - 1 * (x-9) # => # y = -x + 9 + 8 # => # y = -x + 17 # 1

Liniengleichung (durchlaufend) #EIN#), in dem die Höhe senkrecht zu BC liegt

# (y-y_A) = p (x-x_A) # => # (y-3) = - 4 * (x-1) # => # y = -4x + 4 + 3 # => # y = -4x + 7 #2

Kombination der Gleichungen 1 und 2

# {y = -x + 17 #

# {y = -4x + 7 # => # -x + 17 = -4x + 7 # => # 3x = -10 # => # x = -10 / 3 #

# -> y = 10/3 + 17 = (10 + 51) / 3 # => # y = 61/3 #

Also das Orthozentrum #P_ "Orthozentrum" # ist #(-10/3,61/3)#