Wie findet man int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx mit Teilfraktionen?

Antworten:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Erläuterung:

Lassen # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # be = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Wenn wir die rechte Seite erweitern, bekommen wir

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Gleich bekommen wir

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

dh #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

oder #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

oder # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

Wenn wir den Koeffizienten von x mit 0 und die Konstanten gleich setzen, erhalten wir

#A + B = 3 # und

# -2A + B = 0 #

Wir lösen für A & B

#A = 1 und B = 2 #

Als Ersatz für die Integration bekommen wir

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Wie kann man int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx durch Teilfraktionen integrieren?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Also schreiben wir dies zuerst: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Durch Addition erhalten wir: (6x ^ 2 + 13x + 6) ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Unter Verwendung von x = -2 ergibt sich: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Dann ergibt die Verwendung von x = -1: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1)

Wie findet man int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx mit Teilfraktionen?

Sie versuchen, die rationale Funktion in eine Summe aufzuteilen, die wirklich einfach zu integrieren ist. Zunächst: x ^ 2 - 1 = (x - 1) (x + 1). Mit der Teilbruchzerlegung können Sie folgendes tun: (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x - 1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) mit a, b in RR, die Sie finden müssen. Um sie zu finden, müssen Sie beide Seiten mit einem der Polynome links von der Gleichheit multiplizieren. Ich zeige Ihnen ein Beispiel, der andere Koeffizient ist auf dieselbe Weise zu finden. Wir finden a: Wir müssen alles mit x multiplizieren, um den anderen Koeffizienten

Wie integriert man int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 In abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 Inabs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1)) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 In abs (x-7) + C-Farbe (weiß) () Woher stammen diese Koeffizienten? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) We a, b, c kann mit der Heaviside-Methode "Vertuschung" berechnet werden: a = (1-2 (Farbe (blau) (- 1)) ^ 2) / (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (((Farbe ( blau) (- 1)) + 1)))) ((Farbe (blau) (- 1)) - 6)