Wie findet man int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx mit Teilfraktionen?

Antworten:

Sie versuchen, die rationale Funktion in eine Summe aufzuteilen, die wirklich einfach zu integrieren ist.

Erläuterung:

Zuerst: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Die Teilzerfallzerlegung ermöglicht Ihnen Folgendes:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # mit # a, b in RR # das musst du finden

Um sie zu finden, müssen Sie beide Seiten mit einem der Polynome links von der Gleichheit multiplizieren. Ich zeige Ihnen ein Beispiel, der andere Koeffizient ist auf dieselbe Weise zu finden.

Wir werden finden #ein#: wir müssen alles mit multiplizieren # x # um den anderen Koeffizienten verschwinden zu lassen.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Sie tun dasselbe, um zu finden # b # (Du multiplizierst alles mit # (x-1) # dann wählst du #x = 1 #) und das findest du heraus #b = 1 #.

So # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x - 1) - 1 / x #, was das impliziert #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Wie kann man int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx durch Teilfraktionen integrieren?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Also schreiben wir dies zuerst: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Durch Addition erhalten wir: (6x ^ 2 + 13x + 6) ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Unter Verwendung von x = -2 ergibt sich: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Dann ergibt die Verwendung von x = -1: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1)

Wie findet man int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx mit Teilfraktionen?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Sei 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) Wenn wir die rechte Seite erweitern, erhalten wir (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x). Gleich wir erhalten (A * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dh A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 oder A - 2Ax + B + Bx = 3 oder (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 Wenn der Koeffizient von x mit 0 und die Gleichungskonstanten gleichgesetzt werden, erhalten wir A + B = 3 und -2A + B = 0 Durch Auflösen von A und B erhalten wir A = 1 und B = 2. Anstelle der Integration erhalten wir int 3 / ((1 + x) * (1 -

Wie integriert man int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) unter Verwendung von Teilfraktionen?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 In abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 Inabs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1)) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 In abs (x-6) -97/8 In abs (x-7) + C-Farbe (weiß) () Woher stammen diese Koeffizienten? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) We a, b, c kann mit der Heaviside-Methode "Vertuschung" berechnet werden: a = (1-2 (Farbe (blau) (- 1)) ^ 2) / (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) (((Farbe ( blau) (- 1)) + 1)))) ((Farbe (blau) (- 1)) - 6)