Was sind Quaternionen?

Antworten:

Eine Zahl, für die die Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Erläuterung:

Reale Nummern (# RR #) kann durch eine Linie dargestellt werden - ein eindimensionaler Raum.

Komplexe Zahlen (# CC #) kann durch eine Ebene dargestellt werden - einen zweidimensionalen Raum.

Quaternionen (H) kann durch einen vierdimensionalen Raum dargestellt werden.

In gewöhnlichen arithmetischen Zahlen gelten folgende Regeln:

Zusatz

Identität: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Inverse: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Assoziativität: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Kommutativität: #AA a, b: a + b = b + a #

Multiplikation

Identität: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverse von nicht Null: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Assoziativität: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Kommutativität: #Farbe (rot) (AA a, b: a * b = b * a) #

Zusammen

Verteilbarkeit: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#Farbe weiß)()#

Diese Regeln gelten für die Menge rationaler Zahlen # QQ #die Menge der reellen Zahlen # RR # und die komplexen Zahlen # CC # und definieren, was als a bezeichnet wird Feld - ein Satz, der mit Additions- und Multiplikationsoperationen ausgestattet ist, die diese Regeln erfüllen.

Quaternionen (H) nennt man a Schrägfeld oder assoziative Abteilungsalgebra - ein Satz, der mit Additions- und Multiplikationsoperationen ausgestattet ist, die alle diese Bedingungen mit Ausnahme der Kommutativität der Multiplikation erfüllen.

Auch a #4# dimensionaler Vektorraum über den Reals, sie sind die größte assoziative Divisionsalgebra über den Reals, die einzigen beiden anderen # RR # und # CC #.

Neben der reellen Achse werden die Einheiten auf den anderen drei Achsen aufgerufen #ich#, # j # und # k #. Sie sind alle Quadratwurzeln von #-1#.

Diese drei imaginären Einheiten erfüllen die folgenden Bedingungen:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternionen können durch dargestellt werden # 2xx2 # Matrizen mit komplexen Werten oder by # 4xx4 # Matrizen mit Realwerten.

Sie haben Anwendungen in der Mechanik und theoretischen Physik.

#Farbe weiß)()#

Fußnote

Beachten Sie, dass ich gesagt habe assoziativ Divisionsalgebra. Jenseits der Quaternionen gibt es noch fremde Octonions, die die Forderung nach assoziativer Multiplikation fallen lassen.