Was ist das Integral von e ^ (x ^ 3)?

Sie können dieses Integral nicht in Bezug auf elementare Funktionen ausdrücken.

Je nachdem, wofür Sie die Integration benötigen, können Sie eine oder andere Art der Integration wählen.

Integration über Power-Serie

Erinnere dich daran # e ^ x # ist analytisch auf #mathbb {R} #, so #für x in mathbb {R} # es gilt folgende Gleichheit

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

und das bedeutet das

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Jetzt können Sie integrieren:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integration über die unvollständige Gamma-Funktion

Erstens ersetzen # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Die Funktion # e ^ {x ^ 3} # ist kontinuierlich. Dies bedeutet, dass seine primitiven Funktionen sind #F: mathbb {R} nach mathbb {R} # so dass

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

und das ist gut definiert, weil die Funktion #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # ist so, dass für #t bis 0 # es hält #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, so dass das unpassende Integral # int_0 ^ s f (t) dt # ist endlich (ich rufe an # s = -y ^ 3 #).

Also hast du das

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Bemerke das #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Dies bedeutet, dass für #t bis + infty # wir bekommen das #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, damit # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Also folgendes unsachgemäßes Integral von #f (t) # ist endlich:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Wir können schreiben:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

das ist

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Am Ende bekommen wir

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #