Wie schreibt man die Teilbruchzerlegung des rationalen Ausdrucks (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Antworten:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Erläuterung:

Um den gegebenen Ausdruck in Teilbruchteile zu schreiben, denken wir darüber nach, den Nenner zu faktorisieren.

Faktorisieren wir den Nenner

#Farbe (blau) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farbe (blau) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Farbe (blau) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Anwenden der Identität von Polynomen:

#color (orange) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

wir haben:

#Farbe (blau) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Farbe (blau) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Farbe (blau) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Zerlegen wir den rationalen Ausdruck durch das Finden # A, B und C #

#Farbe (braun) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = Farbe (grün) ((3x) / (x3-2x ^ 2-x) +2)) #

#Farbe (braun) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Farbe (braun) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x-2-x-2x) +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Farbe (braun) (((A + B + C) x ^ 2 + (-B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x +) 1)) #

# = Farbe (braun) (((A + B + C) x ^ 2 + (-B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x +) 1)) = Farbe (grün) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Dann, #rArrcolor (braun) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = Farbe (grün) (3x) #

Wir haben ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten # A, B und C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

Beginnen, das System zu lösen

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (rot) (B = -3-3C) #

Ersetzen # B # in eq1 haben wir:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (rot) (A = 3 + 2C) #

Ersetzen #B und C #in eq3 haben wir:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (Farbe (rot) (3 + 2C)) - 2 (Farbe (rot) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (rot) (C = -1 / 2) #

#Farbe (rot) (B = -3-3C) = - 3-3Farbe (Rot) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#Farbe (rot) (B = -3 / 2 #

#Farbe (rot) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#Farbe (rot) (A = 2) #

Lassen Sie uns die Werte ersetzen:

#Farbe (grün) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = Farbe (braun) (Farbe (rot) 2 / (x-2) + (Farbe (rot)) (- 3 / 2)) / (x-1) + Farbe (rot) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Deshalb, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #