Wie ist die Steigung der Linie normal zu der Tangente von f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) bei x = (15pi) / 8?

Antworten:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktives Diagramm

Erläuterung:

Das erste, was wir tun müssen, ist zu berechnen #f '(x) # beim #x = (15pi) / 8 #.

Lass uns diesen Begriff nach Begriff tun. Für die # sec ^ 2 (x) # Begriff, beachten Sie, dass wir zwei Funktionen ineinander eingebettet haben: # x ^ 2 #, und #sec (x) #. Also müssen wir hier eine Kettenregel verwenden:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#Farbe (blau) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Für das 2. Semester müssen wir eine Produktregel verwenden. So:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = Farbe (rot) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + Farbe (rot) (d / dxcos (x-pi / 4))) (x) #

#Farbe (blau) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Sie fragen sich vielleicht, warum wir für diesen Teil keine Kettenregel verwendet haben, da wir eine # (x - pi / 4) # im Cosinus. Die Antwort ist, dass wir dies implizit getan haben, aber wir haben es ignoriert. Beachten Sie, wie die Ableitung von # (x - pi / 4) # ist einfach 1? Die Multiplikation von on ändert also nichts, daher schreiben wir es nicht in Berechnungen aus.

Jetzt setzen wir alles zusammen:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = Farbe (violett) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Achte auf deine Schilder.

Nun müssen wir die Neigung der Linie ermitteln, die tangiert zu ist #f (x) # beim #x = (15pi) / 8 #. Dazu fügen wir diesen Wert einfach in ein #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = Farbe (violett) (~ -6,79) #

Was wir jedoch wollen, ist nicht die Tangente an f (x), sondern die Linie normal dazu Um dies zu erhalten, nehmen wir einfach den negativen Kehrwert der Steigung darüber.

#m_ (Norm) = -1 / -15,78 Farbe (violett) (~~ 0,015) #

Jetzt passen wir einfach alles in die Form der Punktneigung:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Sehen Sie sich dieses interaktive Diagramm an, um zu sehen, wie das aussieht!

Hoffe das hat geholfen:)