Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die (- 5 i + 4 j - 5 k) und (4 i + 4 j + 2 k) enthält?

Antworten:

Es gibt zwei Schritte: (1) Finden des Kreuzprodukts der Vektoren, (2) Normalisieren des resultierenden Vektors. In diesem Fall lautet die Antwort:

((28) / (46,7) i - (10) / (46,7) j - (36) / (46,7) k) #

Erläuterung:

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der zu beiden rechtwinklig ist.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren #(ein#ich# + b #j# + c #k#)# und # (p #ich# + q #j# + r #k#)# ist gegeben durch # (b * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Der erste Schritt besteht darin, das Kreuzprodukt zu finden:

# (- 5i + 4j - 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j) -36k) #

Dieser Vektor ist zu beiden Originalvektoren orthogonal, jedoch kein Einheitsvektor. Um ihn zu einem Einheitsvektor zu machen, müssen wir ihn normalisieren: Teilen Sie jede seiner Komponenten durch die Länge des Vektors.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # Einheiten

Der Einheitsvektor orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren lautet:

((28) / (46,7) i - (10) / (46,7) j - (36) / (46,7) k) #

Dies ist ein Einheitsvektor, der orthogonal zu den beiden Originalvektoren ist, aber es gibt einen anderen - den genau entgegengesetzten. Durch einfaches Ändern des Vorzeichens jeder der Komponenten wird ein zweiter Vektor orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren erhalten.

# (- (28) / (46.7) i + (10) / (46.7) j + (36) / (46.7) k) #

(aber es ist der erste Vektor, den Sie als Antwort auf einen Test oder eine Aufgabe anbieten sollten!)