Wie beweisen Sie sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Antworten:

Machen Sie konjugierte Multiplikationen, verwenden Sie Trig-Identitäten und vereinfachen Sie sie. Siehe unten.

Erläuterung:

Erinnern Sie sich an die pythagoreische Identität # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Teilen Sie beide Seiten durch # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Wir werden diese wichtige Identität nutzen.

Konzentrieren wir uns auf diesen Ausdruck:

# secx + 1 #

Beachten Sie, dass dies äquivalent ist zu # (secx + 1) / 1 #. Multiplizieren Sie oben und unten mit # secx-1 # (diese Technik ist als konjugierte Multiplikation bekannt):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Von # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, wir sehen das # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Daher können wir den Zähler durch ersetzen # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Unser Problem lautet nun:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Wir haben einen gemeinsamen Nenner, sodass wir die Brüche auf der linken Seite hinzufügen können:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Die Tangenten heben sich auf:

# (Abbruch (tan ^ 2x) + 1-Abbruch (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Uns verlassen mit:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Schon seit # secx = 1 / cosx #, können wir das wie folgt umschreiben:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Brüche im Nenner addieren, sehen wir:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Verwendung der Eigenschaft # 1 / (a / b) = b / a #, wir haben:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Und damit ist der Beweis abgeschlossen.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (rot) ("put", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (rot) ("put", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #