Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (5, 9), (4, 3) und (1, 5) #?

Antworten:

# (11 / 5,24 / 5) oder (2.2,4.8) #

Erläuterung:

Wiederholen der Punkte:

#A (5,9) #

#B (4,3) #

#C (1,5) #

Das Orthozentrum eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die Höhenlinien relativ zu jeder Seite (durch den gegenüberliegenden Scheitelpunkt) treffen. Wir brauchen also nur die Gleichungen von 2 Zeilen.

Die Steigung einer Linie ist # k = (Delta y) / (Delta x) # und die Steigung der Linie senkrecht zur ersten ist # p = -1 / k # (wann #k! = 0 #).

# AB-> k = (3-9) / (4-5) = (- 6) / (- 1) = 6 # => # p = -1 / 6 #

# BC-> k = (5-3) / (1-4) = 2 / (- 3) = - 2/3 # => # p = 3/2 #

# CA-> k = (9-5) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # p = -1 #

(Es sollte offensichtlich sein, dass wenn wir für eine der Gleichungen die Steigung wählen # p = -1 # Unsere Aufgabe wäre einfacher. Ich wähle gleichgültig, ich wähle die erste und zweite Piste.

Liniengleichung (durchlaufend) # C #) in der die Höhe senkrecht zu AB liegt

# (y-5) = - (1/6) (x-5) # => #y = (- x + 1) / 6 + 5 # => #y = (- x + 31) / 6 #1

Liniengleichung (durchlaufend) #EIN#) in der die Höhe senkrecht zu BC liegt

# (y-9) = (3/2) (x-5) # => # y = (3x-15) / 2 + 9 # => # y = (3x + 3) / 2 # 2

Kombination der Gleichungen 1 und 2

# {y = (- x + 31) / 6 #

# {y = (3x + 3) / 2 # => # (- x + 31) / 6 = (3x + 3) / 2 # => # -2x + 62 = 18x + 18 # => # x = 44/20 # => # x = 11/5 #

# -> y = (- 11/5 + 31) / 6 = (- 11 + 155) / 30 = 144/30 # => # y = 24/5 #

Das Orthozentrum ist also #(11/5,24/5)#