Was ist die Fläche unter der Polarkurve f (theta) = Theta-Thetasin ((7theta) / 8) -cos ((5theta) / 3 + pi / 3) gegenüber [pi / 6, (3pi) / 2]?

Antworten:

#color (rot) ("Area A" = 25.303335481 "" "quadratische Einheiten") #

Erläuterung:

Für Polarkoordinaten gilt die Formel für den Bereich A:

Gegeben # r = Theta-Theta * sin ((7theta) / 8) -cos ((5theta) / 3 + pi / 3) #

# A = 1/2 int_alpha ^ beta r ^ 2 * d theta #

# A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) (Theta-Theta * sin ((7theta) / 8) -cos ((5theta) / 3 + pi / 3)) ^ 2d Theta #

# A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) theta ^ 2 + theta ^ 2 * sin ^ 2 ((7 theta) / 8) + cos ^ 2 ((Feta) / 3 + pi / 3) #

# -2 * theta ^ 2 * sin ((7theta) / 8) + 2 * theta * cos ((5theta) / 3 + pi / 3) * sin ((7theta) / 8) ## -2 * theta * cos ((5theta) / 3 + pi / 3) d theta #

Nach einiger trigonometrischer Transformation und Integration durch Teile folgt es

# A = 1/2 theta ^ 3/3 + theta ^ 3 / 6-2 / 7 * theta ^ 2 * sin ((7 theta) / 4) -16 / 49 * theta * cos ((7 theta) / 4) + 64/343 * sin ((7theta) / 4) + theta / 2 + 3/20 * sin ((10theta) / 3 + (2pi) / 3) #

# + 16/7 * theta ^ 2 * cos ((7 theta) / 8) -256 / 49 * theta * sin ((7theta) / 8) -2048 / 343 * cos ((7theta) / 8) -24/61 * theta * cos ((61 theta) / 24 + pi / 3) + 576/3721 * sin ((61 theta) / 24 + pi / 3) #

# + 24/19 * Theta * cos ((19eta)) / 24 + pi / 3) -576 / 361 * sin ((19etaeta) / 24 + pi / 3) ## -6 / 5 * theta * sin ((5theta) / 3 + pi / 3) -18 / 25 * cos ((5theta) / 3 + pi / 3) _ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) #

# A = 1/2 * 43.22026786 - (- 7.386403099) #

# A = 1/2 * (50.60667096) #

#color (rot) ("Area A" = 25.303335481 "" "quadratische Einheiten") #

Gott segne … ich hoffe die Erklärung ist nützlich.

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13,6 m Dieses Problem fragt im Wesentlichen nach der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seite a = 4 und Seite b = 13. Daher gilt c = sqrt (4 ^ 2 + 13 ^ 2) c = sqrt (185) m

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3 Nehmen wir an, die Masse des Kerns des Planeten ist m und die der äußeren Schale ist m '. Das Feld auf der Oberfläche des Kerns ist (Gm) / R ^ 2. Auf der Oberfläche der Schale wird es (G (m + m ')) / (2R) ^ 2 Gegebenermaßen sind beide gleich, also (Gm) / R ^ 2 = (G (m + m')) / (2R) ^ 2 oder 4m = m + m 'oder m' = 3m Nun ist m = 4/3 pi R ^ 3 rho_1 (Masse = Volumen * Dichte) und m '= 4/3 pi ((2R) ^ 3 -R ^ 3) rho_2 = 4 / 3 pi 7R ^ 3 rho_2 Daher ist 3m = 3 (4/3 pi R ^ 3 rho_1) = m '= 4/3 pi 7R ^ 3 rho_2 Also ist rho_1 = 7/3 rho_2 oder (rho_1) / (rho_1) / ) = 7/3

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