Was ist der Einheitsvektor, der orthogonal zu der Ebene ist, die (i -2j + 3k) und (i - j + k) enthält?

Antworten:

Es gibt zwei Schritte, um diese Lösung zu finden: 1. Finden Sie das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, um einen Vektor zu finden, der orthogonal zu der Ebene ist, in der sie enthalten sind.

Erläuterung:

Der erste Schritt zur Lösung dieses Problems besteht darin, das Kreuzprodukt der beiden Vektoren zu finden. Das Kreuzprodukt durch Definition findet einen Vektor orthogonal zu der Ebene, in der die zwei multiplizierten Vektoren liegen.

# (i - 2j + 3k) xx (i - j + k) #

= # ((- 2 * 1) - (3 * -1)) i + ((3 * 1) - (1 * 1)) j + ((1 * -1) - (- 2 * 1)) k #

= # (- 2 - (- 3)) i + (3-1) j + (- 1 - (- 2)) k #

= # (i + 2j + k) #

Dies ist ein Vektor orthogonal zur Ebene, aber noch kein Einheitsvektor. Um es zu einem zu machen, müssen wir den Vektor "normalisieren": jede ihrer Komponenten durch ihre Länge teilen. Die Länge eines Vektors # (ai + bj + ck) # ist gegeben durch:

#l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

In diesem Fall:

#l = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt6 #

Unterteilen jeder Komponente von # (i + 2j + k) # durch # sqrt6 # ergibt unsere Antwort, das heißt, dass der Einheitsvektor orthogonal zu der Ebene ist, in der # (i - 2j + 3k) und (i - j + k) # Lüge ist:

# (i / sqrt6 + 2 / sqrt6j + k / sqrt6) #