Was ist die Spannweite einer Matrix? + Beispiel

Antworten:

Siehe unten

Erläuterung:

Eine Menge von Vektoren erstreckt sich über ein Leerzeichen, wenn jeder andere Vektor in das Leerzeichen als lineare Kombination des Spannsatzes geschrieben werden kann. Aber um die Bedeutung dieses Themas zu verstehen, müssen wir uns die Matrix aus Spaltenvektoren ansehen.

Hier ist ein Beispiel in #mathcal R ^ 2 #:

Lass unsere Matrix #M = ((1,2), (3,5)) #

Dies hat Spaltenvektoren: #((1),(3))# und #((2),(5))#, die linear unabhängig sind, so ist die Matrix nicht singulär dh invertierbar usw.

Nehmen wir an, dass wir den verallgemeinerten Punkt zeigen wollen # (x, y) # liegt innerhalb der Spanne dieser 2 Vektoren, dh die Matrix erstreckt sich über alle #mathcal R ^ 2 #, dann versuchen wir das zu lösen:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Oder:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

Sie können dies auf verschiedene Arten lösen, z. B. Reihenreduktion oder -umkehrung von M …..

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Nehmen wir an, wir wollen das überprüfen #(2,3)# ist in der Spanne dieser Matrix, M, wir wenden das Ergebnis an, das wir gerade erhalten haben:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Überprüfen:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Als nächstes betrachten wir eine andere Matrix: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Das ist Singular weil seine Spaltenvektoren, #((1),(2))# und #((2),(4))#sind linear abhängig. Diese Matrix erstreckt sich nur entlang der Richtung #((1),(2))#.