Was ist eine orthogonale Matrix? + Beispiel

Was ist eine orthogonale Matrix? + Beispiel
Anonim

Antworten:

Im Wesentlichen eine orthogonale #n xx n # Matrix repräsentiert eine Kombination aus Rotation und möglicher Reflexion über den Ursprung in # n # dimensionaler Raum.

Entfernungen zwischen Punkten bleiben erhalten.

Erläuterung:

Eine orthogonale Matrix ist eine, deren Inverse gleich ihrer Transposition ist.

Ein typisches # 2 xx 2 # orthogonale Matrix wäre:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

für einige #theta in RR #

Die Zeilen einer orthogonalen Matrix bilden einen orthogonalen Satz von Einheitsvektoren. Zum Beispiel, # (cos theta, sin theta) # und # (- sin theta, cos theta) # sind orthogonal zueinander und von Länge #1#. Wenn wir den früheren Vektor nennen # vecA # und der letztere Vektor # vecB #, dann:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(daher orthogonal)

# || vecA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2 theta) = 1 #

(daher Einheitsvektoren)

Die Spalten bilden auch einen orthogonalen Satz von Einheitsvektoren.

Die Determinante einer orthogonalen Matrix wird immer sein #+-1#. Wenn es so ist #+1# dann heißt die Matrix a spezielle orthogonale Matrix.