Wie lautet die Gleichung der Tangente von f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 bei x = 5?

Die Gleichung der Tangente hat die Form:

# y = Farbe (orange) (a) x + Farbe (violett) (b) #

woher #ein# ist die Steigung dieser Geraden.

Um die Steigung dieser Tangentenlinie zu finden #f (x) # am Punkt # x = 5 # Wir sollten unterscheiden #f (x) #

#f (x) # ist eine Quotientenfunktion der Form # (u (x)) / (v (x)) #

woher #u (x) = x-3 # und #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#Farbe (blau) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#Farbe (rot) (u '(x) = 1) #

#v (x) # ist eine zusammengesetzte Funktion, daher müssen wir eine Kettenregel anwenden

Lassen #g (x) = x ^ 2 # und #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#farbe (rot) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # dann

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#farbe (rot) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#Farbe (rot) (v '(x) = 2 (x-4) #

#Farbe (blau) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

Vereinfachung des gemeinsamen Faktors # x-4 # zwischen Zähler und Nenner

#Farbe (blau) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Weil die Tangente den Punkt durchläuft # x = 5 # so können wir den Wert der Steigung finden #ein# durch Ersetzen # x = 5 # im # f '(x) #

#Farbe (orange) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (orange) (a = -3) #

Angesichts der Abszisse des Tangentialpunkts #color (braun) (x = 5) # Lasst uns

Lasst uns seine Ordinate finden # y = f (5) #

#Farbe (braun) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (braun) (y = 2) #

Die Koordinaten des Tangentialpunkts haben #Farbe (braun) ((5; 2)) # und die Steigung #color (orange) (a = -3) # Lass uns finden #color (violett) (b) #

Ersetzt alle bekannten Werte in der Gleichung der Tangentenlinie, um den Wert zu ermitteln #color (violett) (b) #

#Farbe (braun) (y) = Farbe (orange) (a) Farbe (braun) (x) + Farbe (violett) (b) #

# 2 = -3 (5) + Farbe (violett) (b) #

# 2 = -15 + Farbe (violett (b) #

# 17 = Farbe (violett) (b) #

daher die Gleichung der Tangente am Punkt #Farbe (braun) ((5; 2)) # ist:

# y = -3x + 17 #