Wie schreibt man ein Polynom mit Funktion des minimalen Grades in Standardform mit reellen Koeffizienten, deren Nullen -3,4 und 2-i enthalten?

Antworten:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # mit #aq in RR #.

Erläuterung:

Lassen # P # sei das Polynom, über das du sprichst. ich nehme an #P! = 0 # oder es wäre trivial.

P hat also echte Koeffizienten #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Es bedeutet, dass es eine andere Wurzel für P gibt, #bar (2-i) = 2 + i #, daher diese Form für # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # mit #a_j in NN #, #Q in RR X # und #a in RR # weil wir wollen # P # echte Koeffizienten haben.

Wir wollen den Grad von # P # so klein wie möglich sein. Ob #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # dann #deg (P) = Grad (R) + Grad (Q) = Summe (a_j + 1) + Grad (Q) #. #Q! = 0 # so #deg (Q)> = 0 #. Wenn wir wollen # P # dann den kleinstmöglichen Grad haben #deg (Q) = 0 # (# Q # ist nur eine reelle Zahl # q #), also #deg (P) = deg (R) # und hier können wir das sogar sagen #P = R #. #deg (P) # wird so klein wie möglich sein #a_j = 0 #. So #deg (P) = 4 #.

Also für jetzt, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Lass uns das entwickeln.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) in RR X #. Dieser Ausdruck ist also der beste # P # wir können mit diesen Bedingungen finden!