Was ist eine Abelsche Gruppe aus einer linearen / abstrakten Algebra-Perspektive?

Antworten:

Eine Abelsche Gruppe ist eine Gruppe, bei der die zusätzliche Eigenschaft der Gruppenoperation kommutativ ist.

Erläuterung:

EIN Gruppe # <G, •> # Ist ein Satz #G# zusammen mit einer binären Operation # •: GxxG-> G # welche die folgenden Bedingungen erfüllen:

#G# ist geschlossen unter #•#.

Für alle # a, binG #, wir haben # a • b in G #
#•# ist assoziativ.

Für alle # a, b, cinG #, wir haben # (a • b) • (c) = a • (b • c) #
#G# enthält ein Identitätselement

Es gibt da # einG # so dass für alle # ainG #, # a • e = e • a = a #
Jedes Element von #G# hat eine invers im #G#

Für alle # ainG # es gibt da #a ^ (- 1) inG # so dass # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

Eine Gruppe soll sein Abelian wenn es auch die Eigenschaft hat #•# ist kommutativ, das heißt für alle # a, binG #, wir haben # a • b = b • a #.

Die Gruppe # <ZZ, +> # (die ganzen Zahlen mit Standardaddition) ist eine abelsche Gruppe, da sie alle fünf der obigen Bedingungen erfüllt.

Die Gruppe # GL_2 (RR) # (der Satz umkehrbar # 2 "x" 2 # Matrizen mit reellen Elementen zusammen mit Matrixmultiplikation) ist nicht-Abelsches, da die Matrixmultiplikation zwischen invertierbaren Matrizen, während sie die ersten vier Bedingungen erfüllt, nicht notwendigerweise kommutativ ist. Zum Beispiel:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

aber

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#

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