Wie beweisen Sie: secx - cosx = sinx tanx?

Verwendung der Definitionen von # secx # und # tanx #zusammen mit der Identität

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, wir haben

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Antworten:

Wandeln Sie zuerst alle Begriffe in um # sinx # und # cosx #.

Zweitens wenden Sie die Bruchsummenregeln auf die LHS an.

Zuletzt wenden wir die pythagoreische Identität an: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Erläuterung:

In Fragen dieser Formen sollten Sie zunächst alle Begriffe in Sinus und Cosinus umwandeln: Ersetzen Sie also #tan x # mit #sin x / cos x #

und ersetzen #sec x # mit # 1 / cos x #.

Die LHS, #sec x- cos x # wird # 1 / cos x- cos x #.

Die RHS, # sin x tan x # wird #sin x sin x / cos x # oder # sin ^ 2 x / cos x #.

Jetzt wenden wir die Bruchsummenregeln auf die LHS an, um eine gemeinsame Basis zu bilden (genau wie der Zahlenbruch) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Zuletzt wenden wir die pythagoreische Identität an: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (eine der nützlichsten Identitäten für diese Art von Problemen).

Durch die Neuanordnung bekommen wir # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Wir ersetzen das # 1- cos ^ 2 x # in der LHS mit # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # was gleich der modifizierten RHS ist.

Somit ist LHS = RHS Q.E.D.

Beachten Sie dieses allgemeine Muster, bei dem die Dinge mit Sinus und Cosinus unter Verwendung der Bruchregeln und der pythagoreischen Identität in Begriffe gebracht werden. Oft werden diese Fragen gelöst.

Wenn wir möchten, können wir auch die rechte Seite an die linke Seite anpassen.

Wir sollten schreiben # sinxtanx # bezüglich # sinx # und # cosx #unter Verwendung der Identität #color (rot) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Jetzt benutzen wir die pythagoreische Identität, die ist # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Wir können das ändern, um es zu lösen # sin ^ 2x #, so: #farbe (rot) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Nun teilen Sie einfach den Zähler auf:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Verwenden Sie die gegenseitige Identität #color (rot) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Antworten:

Es ist wirklich so einfach …

Erläuterung:

Verwendung der Identität # tanx = sinx / cosx #multiplizieren Sie die # sinx # auf die Identität zu bekommen:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Dann multiplizieren Sie # cosx # durch die Gleichung zu ergeben:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Bedenkt, dass # secx # ist die Umkehrung von # cosx #.

Verwenden Sie schließlich die trigonometrische Identität # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #wäre die endgültige Antwort:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #