Wie beweisen Sie (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Wir benötigen diese beiden Identitäten, um den Beweis abzuschließen:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Ich fange mit der rechten Seite an und manipuliere sie, bis sie wie die linke Seite aussieht:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (weiß) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (weiß) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (weiß) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#Farbe (weiß) (RHS) = (1 + cosx) / 2Farbe (rot) (* sinx / sinx) #

#color (weiß) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#Farbe (weiß) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) Farbe (rot) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (weiß) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (weiß) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#color (weiß) (RHS) = LHS #

Das ist der Beweis. Hoffe das hat geholfen!

Wir wollen die Identität beweisen:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Betrachten Sie die LHS des Ausdrucks und verwenden Sie die Definition des Tangens:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Betrachten Sie nun die RHS und verwenden Sie die Identität:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Geben uns:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Somit:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (Abbruch (Tanx) (1 + Sinx / Tanx)) / (2Cancel (Tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

Zeigen Sie, dass cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ist. Ich bin etwas verwirrt, wenn ich Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) und cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) mache, es wird negativ als cos (180 ° -theta) = - costheta in der zweite Quadrant. Wie überprüfe ich die Frage?

Siehe unten. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4 pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Wie beweisen Sie (cotx + cscx / sinx + tanx) = (cotx) (cscx)?

Verifiziert unten (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx + 1 / sinx) / (sinx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1)) / sinx) / ((sinxcosx) / cosx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) ((cosx + 1) / sinx) / ((sinx (cosx + 1)) / cosx) = (cotx) (cscx) ) (aufheben (cosx + 1) / sinx) * (cosx / (sinxcancel ((cosx + 1)))) = (cotx) (cscx) (cosx / sinx * 1 / sinx) = (cotx) (cscx) ( cotx) (cscx) = (cotx) (cscx)

Wie beweisen Sie: secx - cosx = sinx tanx?

Wenn wir die Definitionen von secx und tanx zusammen mit der Identität sin x 2 + cos x 2 = 1 verwenden, haben wir secx-cosx = 1 / cosx-cosx = 1 / cosx-cos x 2 / cosx = (1-cos x 2) ) / cosx = sin ^ 2x / cosx = sinx * sinx / cosx = sinxtanx