Die Radien zweier konzentrischer Kreise betragen 16 cm und 10 cm. AB ist ein Durchmesser des größeren Kreises. BD tangiert den kleineren Kreis, der ihn bei D berührt. Wie lang ist AD?

Antworten:

#bar (AD) = 23.5797 #

Erläuterung:

Übernahme des Ursprungs #(0,0)# als gemeinsames Zentrum für # C_i # und # C_e # und anrufen # r_i = 10 # und # r_e = 16 # der tangentialpunkt # p_0 = (x_0, y_0) # ist an der Kreuzung #C_i nn C_0 # woher

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

Hier # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Lösen für #C_i nn C_0 # wir haben

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Die erste wird von der zweiten Gleichung abgezogen

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # so

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # und # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Schließlich ist die gesuchte Distanz

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

oder

#bar (AD) = 23.5797 #

Erläuterung:

Ob #bar (BD) # tangiert zu # C_i # dann #hat (ODB) = pi / 2 # so können wir pythagoras anwenden:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # bestimmend # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Die Stelle # D # Koordinaten, genannt # (x_0, y_0) # sollte vor der Berechnung der gesuchten Entfernung ermittelt werden #bar (AD) #

Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Eine alternative Methode ist

# y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) # aber #sin (Hut (OBD)) = Bar (OD) / Bar (OB) #

dann

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # und

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Nach den angegebenen Daten wird die obige Abbildung gezeichnet.

O ist das gemeinsame Zentrum zweier konzentrischer Kreise

#AB -> "Durchmesser des größeren Kreises" #

# AO = OB -> "Radius des größeren Kreises" = 16 cm #

#DO -> "Radius des kleineren Kreises" = 10cm #

#BD -> "Tangente an den kleineren Kreis" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Lassen # / _ DOB = Theta => / _ AOD = (180-Theta) #

Im #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Anwendung des Cosinus-Gesetzes in #Delta ADO # wir bekommen

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-Theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #