1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? löse das

Antworten:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Erläuterung:

Spaß. Ich weiß nicht, wie ich das machen soll, also probieren wir einfach ein paar Dinge aus.

Es scheint keine komplementären oder zusätzlichen Winkel zu geben, die offensichtlich im Spiel sind. Daher ist es vielleicht am besten, wenn Sie mit der Doppelwinkelformel beginnen.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Jetzt ersetzen wir Winkel durch koterminale (diejenigen mit den gleichen Triggerfunktionen), indem wir subtrahieren # 2 pi. #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2 pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2 pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2 pi))) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Jetzt ersetzen wir Winkel durch zusätzliche Winkel, wodurch der Kosinus negiert wird. Wir lassen das Minuszeichen auch im Cosinus-Argument fallen, was den Cosinus nicht ändert.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Antworten:

#2#

Erläuterung:

Wir wissen das, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => farbe (rot) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

So, #Farbe (rot) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … bis (1) #

#und cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => Farbe (blau) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => Farbe (blau) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … bis (2) #

Verwenden # (1) und (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + Farbe (rot) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + Farbe (blau) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + Farbe (rot) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + Farbe (blau) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … bis as, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#