Wie findet man den Grenzwert lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Antworten:

# frac {1} {2} #

Erläuterung:

Das Limit zeigt eine undefinierte Form #0/0#. In diesem Fall können Sie den De-l'Hospital-Theorem verwenden

#lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' (x)} #

Die Ableitung des Zählers ist

# frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Während die Ableitung des Nenners einfach ist #1#.

So, # lim_ {x bis 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x bis 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x bis 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Und so einfach

# frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Antworten:

# = 1/2 #

Erläuterung:

Wenn Sie sich nicht mit der l'hopitals-Regel vertraut haben

Benutzen:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h bis 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h bis 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h bis 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #