Was ist das Integral von int tan ^ 4x dx?

Antworten:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Erläuterung:

Um Trig-Antiderivate zu lösen, müssen Sie normalerweise das Integral auflösen, um pythagoräische Identitäten anwenden zu können # u #-Auswechslung. Genau das machen wir hier.

Beginnen Sie mit dem Umschreiben # inttan ^ 4xdx # wie # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Jetzt können wir die pythagoräische Identität anwenden # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, oder # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Verteilen der # tan ^ 2x #:

#color (weiß) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Anwenden der Summenregel:

#color (weiß) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Wir bewerten diese Integrale nacheinander.

Erstes Integral

Dieses wird mit einem gelöst # u #-Auswechslung:

Lassen # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Substitution anwenden, #color (weiß) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#Farbe (weiß) (XX) = u ^ 3/3 + C #

weil # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Zweites Integral

Da wissen wir nicht wirklich was # inttan ^ 2xdx # Wenn Sie es nur anschauen, versuchen Sie es mit # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # wieder identität:

# inttan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) dx #

Unter Verwendung der Summenregel läuft das Integral auf Folgendes aus:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

Die erste davon, # intsec ^ 2xdx #, ist nur # tanx + C #. Das zweite, das sogenannte "perfekte Integral", ist einfach # x + C #. Zusammenfassend können wir sagen:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Und weil # C + C # ist nur eine beliebige beliebige Konstante, wir können sie zu einer allgemeinen Konstante kombinieren # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Die beiden Ergebnisse kombinieren wir haben:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Wieder, weil # C + C # ist eine Konstante, wir können sie zu einer verbinden # C #.