Welche der folgenden Aussagen ist wahr / falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. (i) R² hat unendlich viele richtige Vektor-Unterräume, die nicht Null sind. (ii) Jedes System homogener linearer Gleichungen hat eine Lösung, die nicht Null ist.

Antworten:

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# "(i) Stimmt." #

# "(ii) Falsch." #

Erläuterung:

# #

# "Beweise." #

# "(i) Wir können einen solchen Satz von Unterräumen erstellen:" #

# "1)" forall r in RR " qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. #

# "Geometrisch" V_r "ist die Linie durch den Ursprung von" RR ^ 2, "der Steigung" r. #

# "2) Wir werden prüfen, ob diese Teilbereiche die Assertion (i) rechtfertigen." #

# "3) Offensichtlich:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Prüfen Sie, ob: qquad qquad V_r " ein richtiger Unterraum von RR ^ 2 ist. #

# "Let:" qquad u, v in V_r, alpha, beta in RR. qquad qquad qquad quad "Überprüfen Sie Folgendes:" quad alphau + beta v in V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "für einige" x_1, x_2 in RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "mit" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Also:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quad rArr quad alphau + beta v in V_r. #

# "Also:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "ist ein Unterraum von RR ^ 2. #

# "Um zu sehen, dass" V_r "nicht Null ist, beachten Sie Folgendes:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) in V_r, "und" (1, r) ne (0, 0). #

# "Um zu sehen, dass" V_r "richtig ist," "beachten Sie, dass" (1, r + 1)! In V_r: #

# (1, r + 1) in V_r rArr "(durch Konstruktion von" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "eindeutig unmöglich". #

# "Also:" qquad qquad qquad V_r "ist ein nicht-null-richtiger Unterraum von RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Zeigen Sie jetzt, dass es unendlich viele solcher Unterräume gibt" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r, s in RR. qquad qquad qquad quad "Wir zeigen:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Per Definition:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) in V_s. #

# "Klar:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Also:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne rArr V_r ne V_s. #

# "Jedes r in RR " erzeugt also einen eigenen Unterraum " V_r. #

# "Dies ergibt zusammen mit (1):" #

# "Die Familie der Teilbereiche:" r in RR, "ist eine unendliche Familie" #

# "von richtigen Nullbereichen" RR ^ 2 ". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #

# "(ii) Das ist eigentlich einfach. Wenn das System quadratisch ist und das" # "

# "Koeffizientenmatrix des Systems in invertierbar, es wird nur" #

# "die Nulllösung." #

# "Angenommen:" qquad qquad quad A "ist eine quadratische, invertierbare Matrix." #

# "Betrachten Sie das homogene System:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "So wie" A "invertierbar ist:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Das homogene System" A x = 0, "hat also kein" #

# "Lösung ungleich Null." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad platz #