Wie können Sie ohne grafische Darstellung entscheiden, ob das folgende System linearer Gleichungen eine Lösung hat, unendlich viele oder keine Lösung?

Antworten:

Ein System von # N # lineare Gleichungen mit # N # unbekannte Variablen, die keine lineare Abhängigkeit zwischen Gleichungen enthalten (d. h. ihre bestimmend ist nicht Null) wird eine und nur eine Lösung haben.

Erläuterung:

Betrachten wir ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen:

# Axt + By = C #

# Dx + Ey = F #

Wenn paar # (A, B) # ist nicht proportional zum Paar # (D, E) # (dh es gibt keine solche Nummer # k # Das # D = kA # und # E = kB #, die durch Bedingung überprüft werden kann # A * E-B * D! = 0 #) dann gibt es eine und nur eine Lösung:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Beispiel:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Lösung:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Wenn paar # (A, B) # ist proportional zum Paar # (D, E) # (was bedeutet, dass es eine solche Nummer gibt # k # Das # D = kA # und # E = kB #, die durch eine Bedingung überprüft werden kann # A * E-B * D = 0 #) gibt es zwei Fälle:

(a) unendlich viele Lösungen wenn # C # und # F # sind proportional mit dem gleichen Koeffizienten wie #EIN# und # D #, das ist # F = kC #, woher # k # ist der gleiche Verhältnismäßigkeitskoeffizient;

Beispiel:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Hier # k = 2 # für alle Paare: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Die zweite Gleichung ist eine triviale Konsequenz der ersten (multiplizieren Sie einfach die erste Gleichung mit #2#) und liefert daher keine zusätzlichen Informationen über Unbekannte, wodurch die Anzahl der Gleichungen effektiv auf 1 reduziert wird.

(b) überhaupt keine Lösungen, wenn #F! = KC #

Beispiel:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

In diesem Fall widersprechen sich Gleichungen, da wir durch Multiplizieren der ersten mit 2 eine Gleichung herleiten # 2x + 8y = 6 #, die keine gemeinsame Lösung haben kann # 2x + 8y = 5 # da die linken Teile dieser beiden Gleichungen gleich sind, sind es die rechten nicht.

Wie können Sie feststellen, ob das System y = -2x + 1 und y = -1 / 3x - 3 keine oder unendlich viele Lösungen hat?

Wenn Sie versuchen würden, die Lösung (n) grafisch zu finden, würden Sie beide Gleichungen als gerade Linien darstellen. Die Lösung (en) befinden sich dort, wo sich die Linien schneiden. Da es sich bei beiden um gerade Linien handelt, gäbe es höchstens eine Lösung. Da die Linien nicht parallel sind (die Farbverläufe sind unterschiedlich), wissen Sie, dass es eine Lösung gibt. Sie können dies grafisch wie eben beschrieben oder algebraisch finden. y = -2x + 1 und y = -1 / 3x-3 So -2x + 1 = -1 / 3x-3 1 = 5 / 3x-3 4 = 5/3 x x = 12/5 = 2,4

Welche der folgenden Aussagen ist wahr / falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. (i) R² hat unendlich viele richtige Vektor-Unterräume, die nicht Null sind. (ii) Jedes System homogener linearer Gleichungen hat eine Lösung, die nicht Null ist.

"(i) Richtig." (ii) Falsch. "" Beweise. " "(i) Wir können einen solchen Satz von Unterräumen erstellen:" "1)" r nAlle r in RR ", lassen Sie:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2. "[Geometrisch" V_r "ist die Linie durch den Ursprung von" RR ^ 2, "der Neigung" r.] "2) Wir werden prüfen, ob diese Unterräume die Assertion (i) rechtfertigen." "3) Offensichtlich: qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. "4) Prüfen Sie, ob: qquad qquad V_r ein richtiger Unterraum von RR ^ 2 ist. &qu

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Was kann man zum Gleichungssystem sagen? Hat es eine Lösung, unendlich viele Lösungen, keine Lösung oder 2 Lösungen?

Unendlich viele Wir haben zwei Gleichungen: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Hier sind unsere Entscheidungen: Wenn ich E1 zu E2 machen kann, haben wir zwei Ausdrücke derselben Linie und es gibt unendlich viele Lösungen. Wenn ich die x- und y-Terme in E1 und E2 gleich machen kann, aber mit unterschiedlichen Zahlen enden, sind die Linien parallel und daher gibt es keine Lösungen.Wenn ich keine davon machen kann, habe ich zwei verschiedene Linien, die nicht parallel sind, und irgendwo gibt es einen Schnittpunkt. Es gibt keine Möglichkeit, dass zwei gerade Linien zwei Lösungen haben (nehmen Sie zwei Stroh