Finden Sie die Gleichung des Kreises mit A (2, -3) und B (-3,5) als Endpunkten eines Durchmessers?

Um die Gleichung eines Kreises zu finden, müssen wir sowohl den Radius als auch den Mittelpunkt finden.

Da wir die Endpunkte des Durchmessers haben, können wir die Mittelpunktsformel verwenden, um den Mittelpunkt zu erhalten, der zufällig auch der Mittelpunkt des Kreises ist.

Den Mittelpunkt finden:

# M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Der Mittelpunkt des Kreises ist also #(-1/2,1)#

Den Radius finden:

Da wir die Endpunkte des Durchmessers haben, können wir die Abstandsformel anwenden, um die Länge des Durchmessers zu ermitteln. Dann teilen wir die Länge des Durchmessers durch 2, um den Radius zu erhalten. Alternativ können wir die Koordinaten des Zentrums und einen der Endpunkte verwenden, um die Länge des Radius zu ermitteln (ich überlasse es Ihnen - die Antworten werden die gleichen sein).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# radius = sqrt (89) / 2 #

Die allgemeine Gleichung eines Kreises ist gegeben durch:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Also haben wir, # (x - (- 1/2)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Daher ist die Gleichung des Kreises # (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Antworten:

# x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Erläuterung:

Die Gleichung des Kreises mit #A (x_1, y_1) und B (x_2, y_2) # wie

Endpunkte eines Durchmessers sind

#Farbe (rot) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

Wir haben, #A (2, -3) und B (-3,5). #

#:.# Das erforderliche Equn.des Kreises lautet:

# (x-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => x ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0 #

# => x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Antworten:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Sehr ausführliche Erklärung

Erläuterung:

Es gibt zwei Dinge, die gelöst werden müssen.

1: was ist der Radius (wir werden das brauchen)

2: wo ist der Mittelpunkt des Kreises.

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#color (blau) ("Bestimmen Sie den Mittelpunkt") #

Dies sind die Mittelwerte von x und der Mittelwert von y

Mittelwert von # x #: Wir gehen von -3 nach 2, was eine Entfernung von 5 ist. Die Hälfte dieser Entfernung ist #5/2# also haben wir:

#x _ ("mean") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Mittelwert von # y #: wir gehen von -3 bis 5, was 8 ist. Die Hälfte von 8 ist 4, also haben wir: #-3+4=+1#

#Farbe (rot) ("Mittelpunkt" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

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#color (blau) ("Radius bestimmen") #

Wir verwenden Pythagoras, um den Abstand zwischen den Punkten zu bestimmen

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Beachten Sie, dass 89 eine Primzahl ist

#color (rot) ("So radius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "Ungefähr") #

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#color (blau) ("Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises") #

Dies ist nicht das, was wirklich passiert, aber das Folgende wird Ihnen helfen, sich an die Gleichung zu erinnern.

Wenn das Zentrum ist # (x, y) = (- 1 / 2,1) # Wenn wir diesen Punkt dann zurück zum Ursprung (Kreuzung der Achse) bewegen, haben wir:

# (x + 1/2) und (y-1) #

Um dies in die Gleichung eines Kreises zu verwandeln, verwenden wir Pythagoras (wieder), wobei:

# r ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Aber das wissen wir # r = sqrt (89) / 2 "so" r ^ 2 = 89/4 # geben:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #